Czy matematyka rzeczywiście tak dobrze pasuje do przyrody?, znowu konwencjonalizm, Spinoza, dzieje liczby i liczenia, teoria chaosu, misja Voyagera 2
Wyobraźmy sobie jakąś wąską uliczkę w zapomnianej części miasta, gdzie rzadko docierają turyści, a jeśli już nawet zdarzy się im zabłąkać w te rejony, prędko chcą je opuścić; taki tam wszędzie natłok maleńkich domków i zaduch. Dodajmy, że jest to zaduch szczególny przytłaczający raczej świadomość, a nie zmysł powonienia. Turysta, jako człowiek ruchliwy i zazwyczaj konkretny woli sytuacje jednoznaczne i nieszczególnie przepada za takimi nastrojami, zdecydowanie woli poruszać się po ustalonych trasach, a najlepiej, jeśli te trasy można odczytać z precyzyjnych map i obfotografować, żeby potem pokazać znajomym. Tymczasem w tych zaułkach plączą się wszystkie drogi i gubią krajoznawcze mapy. Niczego nie można być pewnym.
My jednak zostańmy właśnie tutaj, bo wybieramy się do kogoś, kto całkowicie utonął w tym miejskim bezdrożu i całe jego istnienie polega wyłącznie na bezładnym błąkaniu się po nieskończonym labiryncie możności już spełnionych, albo dopiero przewidzianych do spełnienia.
Jest to niewysoki starszy mężczyzna, z dużymi okularami na nosie, zza których wyglądają nieobecne oczy krótkowidza. Zgarbiony nad czarną marynarką pracowicie przeciska igłę przez grubą tkaninę, zupełnie nie zwracając uwagi na swoje otoczenie. Naszego krawca nie obchodzi nawet wejście klienta. Sprawia wrażenie, jakby to on był osobą ważniejszą i, że o usługę krawiecką trzeba go raczej poprosić, ale nie można jej tak po prostu zamówić. Jego brak zainteresowania dla wchodzących i wychodzących pozostaje w jaskrawym kontraście z widocznym zaangażowaniem w szycie, jakby wykończenie kolejnej marynarki było jego pasją i jedynym sensem istnienia. A wydaje się to tym dziwniejsze, że długi szereg pełnych garniturów, złożonych z marynarki i spodni, wisi tuż za plecami naszego krawca.
Przy bliższym przyjrzeniu się odkrywamy jednak coś zdumiewającego: każdy garnitur jest inny a więc niepowtarzalny. Niektóre egzemplarze różnią się między sobą ledwie sposobem przyszycia guzików albo krojem kieszeni. Inne zdają się pochodzić z jakiegoś surrealistycznego snu – mają na przykład trzy rękawy albo kilkanaście nogawek, ich lewa i prawa stroną są nierównej długości, guziki pochodzą z kilku różnych kompletów...
Patrząc na te wytwory krawieckiej fantazji, mamy wrażenie, że stworzono je dla zaspokojenia absolutnie wszystkich gustów, i to nie tylko gustów ludzi, bo niektóre ubrania pasowałyby chyba na ośmiornicę. A może nawet nie dla zaspokojenia czyichś gustów, lecz dla samej radości tworzenia, dodajmy, zupełnie bezcelowego i bezużytecznego. Oczywiście przy takiej ilości nagromadzonych garniturów, prawdopodobieństwo, że ktoś mógłby nie znaleźć odpowiedniego dla siebie jest minimalne, co oznacza, że nie jest to tworzenie zupełnie bezużyteczne. Wchodzący zagłębiają się w ten krawiecki ocean, aby bez końca przymierzać, dopasowywać, próbować... Co parę minut któryś wychodzi unosząc na grzbiecie dzieło naszego mistrza, a jego miejsce niemal natychmiast zajmuje kolejny klient. A garniturów jest i tak nieprzebrana ilość, chociaż większość zdaje się nikogo nie interesować.
Tak możemy sobie wyobrazić matematykę. Jest jak szycie nikomu niepotrzebnych ubrań, do których początkowo nie pasują niczyje nogi i ciała, lecz samo ich wytwarzanie sprawia ogromną radość (przynajmniej niektórym). Dlatego nikt nie wyrzuca aktualnie bezużytecznych a więc zbędnych dzieł matematyki, lecz je przechowuje w coraz grubszych podręcznikach i pęczniejących tomach rozpraw naukowych, gdzie są skazane na powolne zarastanie kurzem.
A jednak zdarza się, że ktoś do nich zagląda i wyciąga niektóre z tych wzorów albo metod, ponieważ dziwnym zrządzeniem losu okazały się pasować do jakiejś konkretnej dziedziny. Bywa, że teoretyczny model powstały wyłącznie na papierze i w wyobraźni matematyka jest doskonałym odzwierciedleniem praktycznego problemu, lub wręcz podsuwa prawdopodobne rozwiązanie zagadnienia zupełnie z matematyką niezwiązanego. Tak było choćby z odkryciami Minkowskiego i ze wszystkimi geometriami nieeuklidesowymi. Te z pozoru bezsensowne, a przynajmniej wyłącznie teoretyczne, zabawy intelektualne matematyków okazały się potem doskonałym sposobem opisywania i analizowania zjawisk w mikroświecie na poziomie subatomowym. A przecież twórcy tych dziwacznych matematyk wcale nie zamierzali opisywać rzeczywistości.
Bez tych i podobnych im zabaw matematyków trudno byłoby sobie wyobrazić fizykę cząstek elementarnych, mechanikę kwantową, czy teorię względności. Wcześniej rachunek prawdopodobieństwa, którego pierwotne zastosowanie ograniczać się miało do gier losowych, ujawnił swą niespodziewaną siłę w odniesieniu do zjawisk masowych i społecznych, ekonomii i wszelkich procesów nieliniowych... Przypadkowe, wręcz niechciane, odkrycie (a może wymyślenie) liczb niewymiernych przez pitagorejczyków zdawało się mieć znaczenie wyłącznie dla idealnych tworów matematycznych w rodzaju koła albo kuli. Dopiero później okazało się, że niewymierność istnieje faktycznie, choćby w świecie kwantów, a więc odpowiada jakimś formom materii...
Historia matematyki pełna jest takich zaskakujących koincydencji: ktoś opracowuje oryginalny wzór matematyczny albo jakąś dowcipną procedurę, a parę lat później ktoś zupełnie inny odkrywa, że akurat ten wzór odpowiada jego obserwacjom w świecie empirycznym. Moglibyśmy poprzestać na tym stwierdzeniu, przyjmując po prostu do wiadomości obserwowane fakty, ale ciągle pozostaje pytanie o przyczyny tego zjawiska. Już wielu pytało, dlaczego teoretyczna matematyka jest tak skutecznym narzędziem poznania i opanowywania zupełnie „nieteoretycznej” rzeczywistości?
Poszukując odpowiedzi na to pytanie otrzymujemy co najmniej dwa możliwe rozwiązania. Pierwsze zakłada czysto przypadkową zbieżność; przyroda jest, jaka jest, a nasze matematyczne rozważania, chociaż zupełnie pozbawione realnego sensu, czasami „po prostu trafiają” w zjawiska rzeczywiste. Drugie możliwe do pomyślenia rozwiązanie zakłada, że matematyka dociera do jakiegoś „porządku przedustawnego”, czy ogólnej zasady rządzącej całym kosmosem począwszy od cząstek elementarnych i galaktyk, a na ludzkim myśleniu kończąc. Jeśli przyjmiemy taki właśnie punkt widzenia, ta zauważalna zbieżność rzeczywistości i jej matematycznych modeli przestaje być przypadkiem, stając się za to czymś oczywistym.
Chyba łatwo zgodzimy się, że w pierwszej odpowiedzi najtrudniej zaakceptować ową przypadkowość. Czy jest bowiem prawdopodobne, żeby wytwór czystego intelektu, doskonała abstrakcja matematyki mogła „tylko przez przypadek” być obrazem przyrody? Pamiętajmy, że przecież nie chodzi tu o jakieś proste podobieństwo kilku liczb, albo o zwyczajną zbieżność na przykład w czasie czy w konkretnym punkcie przestrzeni. Takie zjawiska znamy aż nadto dobrze. Wystarczy rzucać pięcioma kostkami do gry, aby stwierdzić, że co pewien czas obserwujemy „zadziwiający” fenomen wystąpienia na przykład pięciu identycznych lub pięciu kolejnych cyfr, samych liczb parzystych, wyłącznie liczb pierwszych i wszelkich innych kombinacji. Są to koincydencje bardzo proste, a zatem stosunkowo łatwe do uzyskania po przeprowadzeniu dostatecznej liczby prób. Dysponujemy jednak całymi teoretycznymi systemami (na przykład rachunek całkowy albo geometria Łobaczewskiego), które okazały się potem doskonałym narzędziem wyjaśniania pewnych klas zjawisk fizycznych. Jak to możliwe?
To jest tak, jakby dziecko mażące bezmyślnie ołówkiem po kartce papieru wśród swoich bazgrołów przypadkowo umieściło zapis teorii Einsteina. Chociaż właściwie, czemuż by nie? W końcu jest możliwe po miliardach prób trafienie akurat w tę samą sekwencję narysowanych linii, którą Albert Einstein też kiedyś naniósł na papier. To jednak mogłoby się zdarzyć, przypuśćmy, jeden raz, ale jak interpretować wielokrotnie obserwowaną zbieżność i to w odniesieniu do różnych zjawisk oraz różnych, bardzo złożonych modeli matematycznych? Jeśli uparcie będziemy w tym widzieć tylko przypadek, powinniśmy chyba zmienić nasze rozumienie przypadkowości, która dotychczas oznaczała coś rzadkiego i niepowtarzalnego. Tymczasem w matematyce takie zbieżności są zjawiskiem powszechnym i coraz częstszym, w miarę rozwoju nauk szczegółowych. Można chyba wątpić w ich tradycyjnie rozumianą przypadkowość.
Jeżeli więc odrzucimy koincydencję jako wysoce nieprawdopodobną (chociaż nie zapominajmy, że ciągle możliwą), naturalną alternatywą wydaje się druga odpowiedź - i przyroda, i myślenie powinny być przejawami tego samego ogólniejszego prawa, a zatem nie ma mowy o żadnym przypadku. Z tego punktu widzenia matematyka okazałaby się badaniem czystych, po platońsku istniejących odwiecznych i niezmiennych zasad, które rządzą rzeczywistością. Stałaby się więc prawdziwą królową nauk. Jakie stąd wynikają konsekwencje? Przede wszystkim za pomocą matematyki powinniśmy umieć opisać wszystko. Dosłownie wszystko, łącznie z naszymi uczuciami, zjawiskami psychologicznymi i społecznymi oraz kulturą, ponieważ w ostatecznym rozrachunku opierają się one na przyrodzie. Powinniśmy zatem z pomocą matematyki przedstawić całą przyrodę, a następnie wywieść z niej, oczywiście również metodami matematycznymi, wszystkie zasady naszego życia duchowego. Jest to podejście redukcjonistyczne, typowe dla Kartezjusza, który wierzył, że rozkładając przedmiot badań na jego możliwie proste elementy można ów przedmiot w pełni poznać.
Coś podobnego postulował też i próbował zrealizować jeden z najsławniejszych filozofów siedemnastowiecznej Europy Baruch Spinoza, kiedy głosił, że zasady geometrii (chodziło mu o logikę i matematykę) uczyni podstawą dla rozumienia całej złożoności człowieka. Szybko jednak okazało się, że z nikłym skutkiem. Jego wnioski są ogólnikowe i przez to praktycznie bezużyteczne, a ich uszczegółowienie prowadzi nieuchronnie do odrzucenia matematycznych procedur jako nazbyt upraszczających. Jednym słowem klęska. Co więcej, również późniejsze usiłowania, aby doprowadzić do zamiany rzeczywistości w reguły matematyki zawsze i nieodmiennie kończyły się niepowodzeniem. Statystyka może służyć na przykład demografii, ale tylko jako narzędzie o dość ograniczonym zasięgu. Podobne zastrzeżenia odnoszą się do biologii. Owszem, niemiecki myśliciel Lotka ogłosił słynne wzory mające opisywać biologiczne procesy wewnątrz populacji i zmiany równowagi ekologicznej; model jest wspaniały i dość elegancki, ale słabo przystający do realnych populacji. Biologia niechętnie poddaje się dyktatowi liczb. To samo dotyczy dużej części geografii, a także psychologii, nauk społecznych, filozofii... Nie trzeba zresztą tak specjalistycznych dziedzin wiedzy. Wystarczy zastanowić się nad matematycznymi modelami naszego codziennego życia. W przypadku prostych zależności typu sumowania kosztów albo cen elementarne operacje arytmetyczne dają wynik, który zgadza się ze stanem rzeczywistym. Gorzej, kiedy zjawiska są bardziej złożone. Grając na przykład w kości potrafimy dokładnie wyliczyć prawdopodobieństwo wygranej. Triumf matematyki? Być może, ale odkrywamy, że prawdopodobieństwo wygranej jest identyczne dla każdego z graczy. A jednak ktoś wygrywa, a inny gracz przegrywa. Czy nasza matematyka potrafi to przewidzieć? Tak, - usłyszymy tę samą odpowiedź statystyka - matematyka potrafi precyzyjnie ocenić prawdopodobieństwo wygranej i przegranej. Jest to prawdą, lecz ma niewiele wspólnego z faktycznym przebiegiem wydarzeń, ponieważ okazuje się bezużyteczne, kiedy pytamy, kto konkretnie wygra. Odpowiedzią jest jedynie prawdopodobieństwo, a nie precyzyjnie określony, jednostkowy wynik.
Co zatem wykazaliśmy? Zdaje się, że przynajmniej w pewnym stopniu udało się obalić mit o matematyce jako królowej nauk. Nawet, jeśli istnieje jakaś hipotetyczna superrzeczywistość, gdzie „są umieszczone” wszystkie fundamentalne reguły wszechświata, matematyka jej chyba nie opisuje. Albo może te podstawowe zasady wcale nie są tak precyzyjne, jak byśmy chcieli, co jest właściwie równoznaczne z przyznaniem, że matematyczne opisy im nie odpowiadają, I tak źle, i tak niedobrze. Bez względu na przyjęty punkt widzenia, musimy przyznać się do porażki tradycyjnych poglądów.
Jednak istnieje też inna możliwa interpretacja fenomenu matematyki. Skoro nie jesteśmy w stanie udowodnić jej realnego zawieszenia w świecie pozaludzkim, spróbujmy poszukać w ramach cywilizacji. W takim ujęciu matematyka okazuje się jeszcze jednym wytworem człowieka i, jak wszystkie elementy ludzkiej kultury, musi mieć pewne związki ze światem obiektywnym, lecz silnie modyfikowane przez nasze myślenie. Przestaje więc być dziedziną obiektywną, choć nadal pozostaje ścisłą, i schodzi z przyznawanego jej dawniej tronu królowej nauk.
Taką właśnie interpretację sugeruje nam historia rozwoju myślenia matematycznego. Liczba, jako ilość przedmiotów policzalnych, pojawiła się prawdopodobnie już co najmniej 20 tysięcy lat przed erą chrześcijańską, o czym świadczą serie równoległych nacięć na kościach i na ścianach jaskiń służące prawdopodobnie jako formy zapisu liczby ważnych przedmiotów, dni, może zwierząt. Siedemnaście tysięcy lat później Sumerowie i Babilończycy używają sześćdziesiątkowego i dwunastkowego systemu liczenia, co znajdzie odbicie w podziale dnia na 12 godzin, godziny na 60 minut, a koła na 360 stopni. Około roku 1700 p.n.e. pojawia się egipski zbiór zadań matematycznych („papirus moskiewski”) służący do nauki, a niewiele później Egipcjanin Ahmes oblicza liczbę jako 3,1605. W pierwszym tysiącleciu przed naszą erą powstaje system dziesiętny (Indie, wschodnie Morze Śródziemne, Chiny) oparty na liczbie palców, a Galowie, Germanie, Majowie i Indianie meksykańscy stosują system dwudziestkowy (prawdopodobnie również chodzi o liczbę palców). W IV wieku p.n.e. Chińczycy wprowadzają zero (początkowo niezapisywane) znane potem w Indiach, krajach muzułmańskich i Europie, a w II wieku p.n.e. znowu Chińczycy wynaleźli liczby ujemne. O poziomie matematyki w Kraju Środka niech świadczą też ułamki dziesiętne używane tam już w I wieku p.n.e., bardzo dokładne wyznaczenie liczby П = 3,14159 (Liu Hui, III wiek n.e.), oraz wprowadzenie prostokątnego układu współrzędnych w pierwszych wiekach nowej ery. Refleksję teoretyczną nad matematyką zaczynają pitagorejczycy w Grecji w VI wieku p.n.e., kiedy uznają liczbę za sens wszechświata - wieczną ideę. Ten pomysł przejmie później Platon, a Grecja klasyczna konsekwentnie uzna doskonałą matematykę za królową wszystkich nauk traktujących o niedoskonałym świecie. Takie podejście zaowocuje powstaniem aksjomatycznej logiki typu prawda-fałsz w II i I p.n.e. (Chryzyp i inni stoicy) następnie przejętej przez Euklidesa, ojca aksjomatycznej geometrii. Mogłoby się wydawać, że wszystko zmierza w jak najlepszym kierunku...
Jednak dalsze konsekwencje idealistycznie, po platońsku, pojmowanej matematyki okazały się zupełnie nieoczekiwane. Na fali tego samego idealizmu wyrosły systemy mistyczne, a wśród nich przewagę uzyskało chrześcijaństwo, które logikę i matematykę uznało za swego wroga. Doskonałym idealnym wzorcem dla niedoskonałego świata może być albo logika i matematyka, albo Bóg. Dlatego właśnie cesarz Justynian zamknął Akademię Platońską (529), a całe europejskie średniowiecze jest kształtowane przez postawę antylogiczną i teocentryczną. Ostatecznie doszło do tragedii stosów, na których palono dzieła matematyków na równi z ich autorami. Zdumiewający łańcuch przyczynowo-skutkowy od ścisłej logiki do religijnego fanatyzmu.
Alternatywną drogę rozwoju reprezentowali szeroko rozumiani praktycy, których na ogół w niewielkim stopniu interesowały ideologiczne podstawy matematyki. W tym nurcie mieszczą się prawdopodobnie budowniczowie egipskich piramid (pomijając religijne przyczyny podjęcia takich projektów), tadżycki matematyk Nasir ed-Din (XIII w.), który rozwinął trygonometrię, Włoch Fibonacci (system dziesiętny, 1202 r.), Anglik John Napier (symbol logarytmu, XVI w.), Włoch Cardano (liczby zespolone, XVI w.)... A wszystko w ramach nienaruszalnych, odwiecznych (albo może przedwiecznych?) reguł Euklidesa.
Pierwsze matematyczne „systemy heretyckie” pojawiają się dopiero w XVIII wieku. W roku 1733 Włoch Saccheri stworzył nieeuklidesową geometrię opartą na odrzuceniu piątego postulatu Euklidesa, według którego przez dwa punkty może przechodzić tylko jedna prosta. Jednak Saccheri traktuje swoje prace tylko jako absurdalną zabawę bez związku z rzeczywistością. W roku 1829 Rosjanin Łobaczewski a w 1832 Węgier Bolyai niezależnie od siebie odrzucają piąty postulat. Dalszą konsekwencją rozszerzającej się herezji jest geometria wielu wymiarów stworzona przez Niemca Riemanna w roku 1854 (za pół wieku znajdzie zastosowanie w teorii względności). Brytyjczyk Clifford tworzy model materii jako zakrzywienie pola (1870 r.), a Niemiec Minkowski - nieeuklidesową geometrię czasoprzestrzeni (1909 r.), która nieoczekiwanie okaże się potem przydatna przy opisywaniu cząstek elementarnych (garnitur szalonego krawca znalazł klienta?). Potem Austriak Kurt Gödel wykazuje, że istnieją zdania logiczne, których prawdziwości lub fałszu nie można dowieść (1930-1931 r.) i pojawia się teoria chaosu (od 1961 r.) negująca jednoznaczne związki przyczynowo-skutkowe.
W ten sposób królowa matematyka okazała się umownym i dość niespójnym zbiorem aksjomatów zależnych od pomysłowości jej twórców. Przede wszystkim zaś okazała się być produktem historycznego rozwoju cywilizacji, a nie odbiciem jakiegoś doskonałego świata idei. Najwyraźniej jest zbiorem garniturów projektowanych przez szalonego krawca bez odniesień do rzeczywistości. Dopiero w trakcie rozwoju nauki, niektóre z tych garniturów zostają dopasowane do faktów empirycznych, chociaż większość nadal pozostaje bezużyteczna. Ale nawet te, które znalazły zastosowanie, mają wartość poznawczą tylko dlatego, że wytworzył je ten sam umysł ludzki, który poznaje świat poprzez swoje typowo ludzkie zmysły i wrażenia. W tym ujęciu matematyka byłaby pomostem między myśleniem człowieka i doświadczeniem człowieka, a zatem jej związki ze światem zewnętrznym określałby też człowiek stanowiący tu rodzaj filtra informacji. W taki oto prosty sposób moglibyśmy wyjaśnić ową legendarną skuteczność matematyki w opisywaniu świata: ona po prostu jednocześnie opisuje ludzką rzeczywistość (doświadczalną) i działa w ramach ludzkiego myślenia. Mało tego; obejmuje zaledwie mniej skomplikowany fragment tej rzeczywistości zupełnie nie dając sobie rady ze zjawiskami wieloelementowymi oraz bardzo zmiennymi. I wcale nie chodzi tu o niewydolność wynikającą ze słabego rozwoju, co mogłoby zmienić się w przyszłości wraz z postępem nauki. To się nie zmieni, bo przecież sami matematycy tworzący teorię chaosu wykazali, że w przyrodzie dostępnej empirycznie zjawiska chaotyczne są czymś naturalnym, a porządek to stan marginalny od czasu do czasu pojawiający się niejako na obrzeżach wszechogarniającego chaosu. Problem tkwi zatem nie w chaosie, który okazuje się zwyczajnym stanem przyrody, ale w matematyce opartej na błędnym założeniu o uporządkowaniu świata. Co więcej, jeśli ta interpretacja jest prawidłowa, mamy pełne prawo przypuszczać, że inne hipotetyczne istoty rozumne nie znają ludzkiej matematyki tak samo, jak owady widzą inne kolory niż ssaki, a nietoperze słyszą inaczej niż delfiny i inaczej od psów. Oznaczałoby to, że matematyka jest w dużym stopniu subiektywna lub przynajmniej konwencjonalna.
W tym kontekście nasuwa się jeszcze jedna refleksja. W roku 1977 wysłano sondę kosmiczną Voyager 2 z zadaniem zbadania najdalszych planet, a potem wyjścia poza Układ Słoneczny. W nadziei, że w bezdennych otchłaniach wszechświata ktoś rozumny natknie się na maleńki aparat (praktycznie niemożliwe, ale co szkodzi mieć nadzieję?), na jego pokładzie umieszczono zapis dźwięków i obrazów z Ziemi. Część informacji o człowieku zakodowano w rzekomo „uniwersalnych” formułach matematycznych, w ten sposób dając wyraz odziedziczonemu po starożytności platońskiemu przekonaniu, że matematyka jest odzwierciedleniem idei wiecznych i niezmiennych, które tworzą absolutną osnowę świata. Oczywiście, zgodnie z tym poglądem wzory matematyczne powinny być zrozumiałe dla wszystkich istot rozumnych. Niestety, w świetle przedstawionych wcześniej przemyśleń wygląda to raczej na naszą ludzką naiwność i antropocentryzm, a przynajmniej na nieuzasadnione zadufanie w sobie.
W roku 1989 Voyager 2, jako pierwszy w dziejach obiekt zbudowany przez człowieka, minął najdalsze planety, a w roku 2013 przekroczył heliopauzę. Tym samym sonda opuściła Układ Słoneczny, aby zanurzyć się w bezmiar pustki między obiektami składającymi się na Drogę Mleczną. Tym samym Voyager 2 stał się czymś w rodzaju butelki rzuconej do oceanu z ukrytym wewnątrz listem od rozbitka uwięzionego na samotnej wyspie. Szansa, że ktoś natrafi na tę butelkę jest bliska zeru, a jeszcze mniej prawdopodobnym wydaje się, że ktokolwiek zrozumie język tego listu. Nie wiemy bowiem, czy matematyka faktycznie może być językiem uniwersalnym, który ewentualnie połączy różne istoty i cywilizacje rozwijające się we wszechświecie.
Literatura
K. Ajdukiewicz, Język i poznanie. Tom I. Warszawa 1960, Tom II. Warszawa 1985.
J.D. Barrow, П razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu. Warszawa 1996.
M. Heller, Filozofia i wszechświat. Wybór pism. Kraków 2006.
G. Ifrah, Dzieje liczby czyli historia wielkiego wynalazku. Wrocław 1990.
T. Michniowski, Wszechświat matematyczny. Studium metodologiczno-przyrodnicze.
Lublin 2004.
E. Piotrowska, H. Korpikiewicz (red.), Matematyka, język, przyroda. Poznań 2000.